Statistik Non-Parametrik

Dalam penelitian seringkali kita menghadapi data yang distri­businya tidak mudah atau sulit sekali diketahui. Untuk ini kita memerlukan statistik distribusi-bebas, sehingga kita memerlukan pro-sedur analisis yang tidak tergantung pada distribusi terten­tu. Statistik non parameterik membandingkan distribusi dan bukan membandingkan parameter. Beberapa keuntungan dari statis­tik non-parameterik ini adalah:

1. Kalau dimungkinkan untuk membuat asumsi yang lemah menge­nai sifat distribusi data maka statistik non-parametrik sangat sesuai. Statistik ini digunakan untuk sekelompok besar distri­busi bukan untuk distribusi tunggal,
2. Kadangkala dimungkinkan untuk bekerja sedikit lebih banyak daripada mengkategorisasikan data karena skala pengukurannya sangat lemah/tidak memadai. Dalam hal ini, uji non-parametrik dapat dilakuan. Pada kesempatan lain, kategorisasi merupakan cara untuk mengumpulkan data yang banyak secara cepat, datanya sedemikian banyaknya sehingga diperlukan uji non parametrik,
3. Kalau dimungkinkan untuk me-ranking data, maka teredia prosedur-prosedur non-parametrik,
4. Karena statistik non-parametrik menggunakan data enumerasi, ranking, atau tanda dari perbedaan untuk observasi yang berpa­sangan, maka seringkali dapat lebih cepat dan mudah digunakan.
5. Efisiensi teknik-teknik non-parametrik dibandingkan dengan metode parametrik ternyata snagat tinggi untuk  sampel kecil ( n < 10), efisiensi menurun kalau jumlah sampel semakin besar. 

1. Uji X2 Goodness of Fit

Seringkali kita ingin mengetahui bukan parameter dari distribusi yang diasumsikan melainkan ingin mengetahui bentuk distribusi­nya.  Dengan kata alain kita ingin menguji hipotesis bahwa sampel data berasal dari  suatu distribusi tertentu. Kriteria uji X2  adalah:

                (Observasi - Harapan)

 X2 =     ----------------------------

                        (Harapan)

Kriteria ini sesuai untuk data yang tersebar dalam kategori.  Tidak diperlukan skala untuk mendefinisikan kategori, meskipun ada sekala dan dapat digunakan.  Peluang diperlukan untuk menghitung nilai-nilai harapan, peluang ini dapat diperoleh dari teori atau diduga dari data.

2.  Uji Kolmogorov-Smirnov: Sampel Tunggal

Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai distribusi kontinyudengan parameter-parameter tertentu. Uji ini dianggap konservatif, yaitu bahwa, P(tolak Ho|Ho benar) < nilai tabel, kalau parameter-parameter diestimasi. Uji ini juga dapat digu­nakan untuk menguji hipotesis mengenai distribusi diskrit.

3. Uji Tanda
Dalam uji ini, kita berhubungan dengan median dan bukan dengan mean (rata-rata). Uji tanda ini didasarkan pada tanda-tanda dari perbedaan di antara nilai-nilai yang berpasangan. Ini berarti bahwa uji ini juga dapat digunakan kalau observasi yang berpasangan diranking secara sederhana. Untuk menguji hipotesis nol bahwa setiap perbedaan berasal distribusi peluang yang mempunyai median 0 maka kriteria uji yang dapat digunakan adalah:

                     (Observasi - Harapan)

 X2 =          -----------------------------

                          (Harapan)

Formula berikut ini sesuai untuk menguji Ho: p = 0.5 :

          (n1-n2)2

X2 =   -------------

          n1 + n2

dimana  nilai-nilai n1 dan n2 adalah banyaknya tanda plus dan minus. 

Uji ini mempunyai kerugian karena tidak mamapu mendeteksi infor­masi mengenai besarnya perbedaan.  Sehingga tidak memungkinkan untuk mendeteksi  penyimpangan dari hipotesis nol kalau banyak­nya pasangan observasi kurang dari enam.  Untuk pasangan obser­vasi lebih dari 20, uji ini sangat berguna. 

4. Uji Rank Wilcoxon
Uji ini merupakan pengembangan dari Uji-Tanda dalam upaya untuk mendeteksi perbedaan-perbedaan riil pada perlakuan yang berpa­sangan. Tahapan dalam prosedur ini adalah:

(1). Menyusun Rank perbedaan-perbedaan di antara nilai-nilai yang berpasangan mulai terkecil hingga terbesar tanpa memperhat­ikan tandanya.

(2). Memberi tanda pada Rank sesuai dengan perbedaan orisinalm­nya

(3). Menghitung jumlah Rank positif T+ dan menjumlah rank nega­tif T-.  Ini berhubungan dengan  persamaan T+ + T- = n(n+1)/2. 

        Pilihlah di antara T+ dan T- yang secara numerik lebih kecil, dan ini disebut dengan T.

(4). Membandingkan  jumlah yang diperoleh pada tahap (3) dengan nilai kritis.

Uji signifikasi dapat dilakukan dengan n sama dengan ba-nyaknya pasangan:

Z = (T - µT)/µT,

            n(n+1)                            n(n+1)(2n+1)

µT = -----------------,   µ T =  µ   ------------------

               4                                       24

.

5. Uji Kolmogorov-Smirnov: Dua Sampel

Untuk menguji dua sampel independen dan menguji hipotesis nol bahwa mereka  berasal dari distribusi yang identik.  Kalau sampel-sampel tersebut adalah Y11, ...... Y1n1  dan Y21, .... Y2n2, maka kita mempunyai Ho: F1(Y) = F2(Y), dimana Fi adalah benar tetapi fungsi distribusi kumulatifnya tidak spesifik.  Kriteria uji mensyaratkan bahwa dua fungsi distribusi sampel dibandingkan.  Ini berarti kita mencari perbedaan numerik maksi­mum di antaranya. Langkah-langkah prosedurnya adalah:

(1). Ranking semua observasi bersama-sama

(2). Tentukan fungsi-fungsi distribusi komulatif dari sampel, Fn(Y1) dan Fn(Y2)

(3). Hitunglah |Fn(Y1) - Fn(Y2)| pada masing-masing nilai Y

(4). Carilah D dan bandingkan dengan nilai kritis.

Kalau H1: F1(Y) > F2(Y)   maka kriteria ujinya adalah:

   

        D+ = |Fn(Y1) - Fn(Y2)|  untuk Fn(Y1) > Fn(Y2)

Kalau H1: F1(Y) < F2(Y)   maka kriteria ujinya adalah:

            D- = |Fn(Y1) - Fn(Y2)|  untuk Fn(Y1) < Fn(Y2)

6. Uji Wilcoxon-Mann-Whitney: Dua Sampel

Uji Wilcoxon ini dikembangkan untk menguji lokasi dua sampel independen yang ukurannya sama.  Uji ini diperluas oleh Mann dan Whitney untuk sampel yang ukurannya tidak sama.  Uji untuk observais yang tidak berpasangan adalah sebagai berikut, untuk n1 < n2:

(1). Susun Rank observasi dari kedua sampel bersama-sama mulai dari terkecil hingga terbesar,

(2). Tambahkan Rank-rank untuk sampel yang lebih kecil, sebutlah ini dengan T

(3). Hitunglah T' = n1(n1 + n2 + 1)-T, , nilai yang ingin anda peroleh  untuk sampel yang lebih kecil kalau observasi telah diranking dari terbesar hingga terkecil. (Ini bukan  jumlah rank-rank untuk sampel lainnya).

(4). Bandingkanlah jumlah rank yang lebih kecil dengan nilai tabel.

Kalau tidak tersedia tabel uji, dapat digunakan formula berikut:

Z = (T-µT)/_T,

           n1(n1+n2+1)                      n1n2 (n1+n2+1)

µT = ------------------  ,  µ T  =  µ  --------------------

             2                                              12

Bandingkanlah nilai Z-hitung dengan Z-tabel.

7. Uji Median

Uji ini dapat digunakan  untuk menguji dua sampel independen.  Ia menguji hipotesis nol bahwa dua distribusi kontinyu mempunyai median bersama. Prosedurnya adalah:

(1).  Urutkanlah dua sampel dari terkecil hingga terbesar. 

(2). Carilah mediannya

(3). Untuk setiap sampel, amatilah banyaknya observasi-observasi yang lebih besar dari median

(4). Gunakan dua besaran ini  dan dua ukuran sampel untuk me­lengkapi tabel kontingensi 2 x 2.

(5). Ujilah signifikansinya dengan X2 dengan satu derajat bebas  kalau ukuran kedua sampel lebih besar dari 10.

8. Uji Kruskal-Wallis: k - Sampel

Kruskal dan Wallis telah mengembangkan  suatu kriteria uji berdasarkan atas rank-rank yang sesuai untuk rancangan acak lengkap. Untuk k = 2, setara dengan uji Wilcoxon-Mann-Whitney.  Kalau untuk uji rank yang lainnya, kita asumsikan abwha semua populasi yang disampel adalah kontinyu dan identik, kecuali hanya lokasinya.  Hipotesis nol adalah bahwa semua populasi mempunyai lokasi sama.  Prosedurnya adalah sbb:

(1). Susun Rank semua observasi bersama-sama dari yang terkecil hingga terbesar.

(2). Jumlahkanlah rank-rank untuk setiap sampel

(3). Hitunglah kriteria uji dan bandingkanlah dengan nilai tabel.

Kriteria uji adalah:

         12             Ri2

H = ----------  ---- - 3(n-1)

       n(n+1)     i   ni

Di sini ni adalah banyaknya observasi dalam sampel ke i, dimana i = 1, .... k, n = _ni, dan Ri adalah jumlah rank untuk sampel ke i.  H tersebar seperti X2 dengan derajat bebas k-1 ka;lau ni tidak terlalu kecil.

9. Uji Friedman: Klasifikasi Dua Arah

Rancangan percobaan yang banyak digunakan adalah Acak Kelompok dengan lebih dari dua ulangan.  Friedman telah mengusulkan  uji berikut ini:

(1).    Susunlah rank perlakuan-perlakuan dalam setiap ulangan dari terkecil hingga terbesar

(2).    Carilah jumlah rank untuk setiap perlakuan

(3).    Ujilah hipotesis nol bahwa populasi-populasi di dalam suatu ulangan adalah identik melawan hipotesis alternatif bahwa paling tidak satu perlakuan  berasal dari populasi yang mempunyai perbedaan lokasi pada satu arah.  Kriteria uji yang digunakan adalah:

             12

Xr2  = ------------     ri2 - 3b(t+1)

            bt(t+1)      i

dengan derajat bebas t-1, dimana t adalah banyaknya perlakuan, b adalah banyaknya ulangan, dan ri adalah jumlah rank untuk perla­kuan ke i.  Perhatikan bahwa 12 dan 3 adalah konstante yang tidak tergantung pada ukuran eksperimen.  Kriteria uji ini mengukur homogenitas  t jumlah-jumlah dan tersebar seperti X2. 

10. Koefisien Korelasi Rank Spearman

Koefisien korelasi, r, dapat digunakan untuk  distreibusi normal bivariate, suatu distribusi yang tidak terlalu lazim.  Koefisien korelasi rank Spearman berlaku untuk data  dalam bentuk rank.  Dapat dapat dihimpun  sebagai rank-rank atau dapat diranking setelah observasi pada sekala lain.  Ia mengukur korespondensi antara rank-rank, sehingga tidak memerlukan  ukuran korelasi linear.  Prosedurnya adalah:

(1). Rankinglah observasi untuk setiap variabel

(2). Carilah perbedaan dalam rank-rank untuk observasi berpasan­gan. Misalnya di = perbedaan untuk pasangna ke i

(3). Estimasilah  rho  dengan formula:

                 6  di2

 rs = 1 -  ---------------

               (n-1) n (n+1)

        dimana rs adalah koefisien korelasi rank Spearman dan n adalah banyaknya perbedaan d.

(4). Kalau pasangan sangat banyak, estimasi dapat diuji dengan menggunakan kriteria:

                n-2

t = rs     -------

               1 - rs2 

tersebar seperti t - Student dengan derajat bebas n-2.

11. Uji Olmstead-Tukey: Asosiasi

Uji ini digunakan untuk asosiasi dua variabel kontinyu, dan lazim disebut sebagai uji jumlah-kuadrat.   Nilai-nilai ekstrim  seringkali menjadi indikator terbaik dari asosiasi antara varia­bel dan uji ini memberinya pembobot khusus. Perhitungannya sbb:

(1). Plot observasi yang berpasangan

(2). Gambarkanlah median untuk setiap variabel

(3). Mulailah dari bagian atas, hitung ke bawah banyaknya obser­vasi (dengan menggunakan sumbu Y) yang nampak, hingga perlu melintasi median vertikal. Catatlah angka ini bersama dengan tanda kuadrannya.

(4). Ulangilah seperti tahap (3) dari kanan, dengan menggunakan median horisontal

(5). Ulangilah dari bawah dan dari kiri

(6). Hitunglah jumlah kuadran dan bandingkanlah dengan nilai- nilai tabel.

Kalau banyaknya pasangan ganjil, setiap median  melalui suatu titik yang agaknya berbeda.  Misalnya saja titik ini (Xm,Y) dan (X,Ym). Untuk menghitung jumlah kuadran, gantilah dua pasangan ini dengan pasangan tunggal (X,Y), sehingga akan meghasilkan jumlah pasangan yang genap. Pengujian dilakukan dengan jalan membandingkan jumlah kuadran dengan nilai tabel.