DASAR-DASAR LOGIKA

1.1       PENGERTIAN UMUM LOGIKA

Filsafat dan matematika adalah bidang pengetahuan rasional yang ada sejak dahulu. Jauh sebelum matematika berkembang seperti sekarang ini dan penerapannya menyentuh hampir seluruh bidang ilmu pengetahuan modern, ilmuwan dan filosof yunani telah mengembangkan dasar pemikiran ilmu geometri dan logika. Sebut saja THALES (640-546 SM) yaitu seorang ilmuwan geometri yang juga disebut sebagai bapak filosofi dan penalaran deduktif. Ada juga ahli matematika dan filosof PHYTAGORAS (572-497 SM) dengan dalil phytagorasnya yang terkenal yaitu a²+b²=c² .

MATEMATIKA DAN FILSAFAT

Persamaan filsafat dan matematika

• Kerja Filosof adalah berpikir konsep.
• Kerja Matematikawan adalah memperjelas konsep yang dikembangkan oleh filosof.

Perbedaan filsafat dan matematika

• Filsafat bebas menerapkan berbagai metode rasional.
• Matematikawan hanya menerapkan metode deduksi.

MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut BETRAND RUSSEL matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari pangkal fikir umum semua penalaran.

Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan keluasan, ilmu tentang hubungan, pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif.

MAKNA LOGIKA

Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika secara intensif.

Dasar pemikiran logika klasik adalah logika benar dan salah yang disimbolkan dengan 0 (untuk logika salah) dan 1 (untuk logika benar) yang disebut juga LOGIKA BINER. Tetapi pada kenyataanya dalam kehidupan sehari-hari banyak hal yang kita jumpai yang tidak bisa dinyatakan bahwa sesuatu itu mutlak benar atau mutlak salah. Ada daerah dimana benar dan salah tersebut nilainya tidak bisa ditentukan mutlak benar atau mutlak salah alias kabur.

Untuk mengatasi masalah yang terjadi dalam logika klasik yang dikembangkan oleh ARISTOTELES tersebut, seorang ilmuwan dari Universitas California Berkeley, PROF. LOTFI A.ZADEH pada tahun 1965 mengenalkan suatu konsep berpikir logika yang baru yaitu LOGIKA KABUR (FUZZY LOGIC).

PADA LOGIKA FUZZY

• Nilai kebenarn bukan bersifat crisp (tegas) 0 dan 1 saja tetapi berada diantaranya (multivariabel).
• Digunakan untuk merumuskan pengetahuan dan pengalaman manusia yang mengakomodasi ketidakpastian ke dalam bentuk matematis tanpa harus mengetahui model matematikanya.
• Pada aplikasinya dalam bidang komputer, logika fuzzy diimplementasikan untuk memenuhi kebutuhan manusia akan sistem komputer yang dapat merepresentasikan cara berpikir manusia.

HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut RUDOLF CARNAP (1931)

• Konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang jelas.
• Dalil-dalil matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis secara murni.

Menurut BETRAND RUSSEL

• Logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika.

LOGIKA DAN KOMPUTER

          Arsitektur sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND.

          Program komputer berjalan di atas struktur  penalaran yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.

1.2       LOGIKA DAN PERNYATAAN

1.2.1          LOGIKA

PENGERTIAN UMUM LOGIKA

          Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah.

          Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar.

          Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.

GAMBARAN UMUM LOGIKA

          Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak pasti meliputi Logika Samar atau  kabur (Fuzzy Logic).

          Logika Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif.

Logika Predikat  menelaah variabel dalam suatu kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.

Logika Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi simetri, refleksif, antisimtris, dll.

Logika himpunan membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya.

Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya.  Logika samar banyak diterapkan dalam kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika. Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.

ALIRAN DALAM LOGIKA

LOGIKA TRADISIONAL

• Pelopornya adalah Aristoteles (384-322 SM)
• Terdiri dari analitika dan dialektika. Ilmu analitika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada pernyataan yang benar sedangkan dialektika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada dugaan.

LOGIKA METAFISIS

• Dipelopori oleh F. Hegel (1770-1831 M)
• Menurut Hegel, logika dianggap sebagai metafisika dimana susunan pikiran dianggap sebagai kenyataan.

LOGIKA EPISTIMOLOGI

• Diperkenalkan oleh FH. Bradley (1846-1924) dan Bernhard Bosanquet (1848-1923 M).
• Prisip dari logika epistimologi ini adalah untuk mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan perasaan halus digabungkan. Selain itu, untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya.

LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS

• Dipelopori oleh Jhon Dewey (1859-1952)
• Prinsipnya adalah logika merupakan alat atau instrumen untuk menyelesaikan masalah.

LOGIKA SIMBOLIS

• Logika simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah) yang dikembangkan menggunakan metod ematematika dan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari.

• Pelopornya adalah Leibniz, De Morgan, dan Boole
• Logika ini menggunakan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci bagaimana akal harus bekerja dan bercirikan teknis, matematis, dan ilmiah. Pemakaian simbol matematika ini untuk mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang bernilai benar atau salah.
• Logika simbolis ini kemudian menjadi dasar logika matematika modern yaitu logika formal yang semata-mata menelaah bentuk da bukan isi dari apa yang dibicarakan.

1.2.2          PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.

Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Contoh :

1. Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar).
2. 2+2=4                                     (Benar).
3. Semua manusia adalah fana     (Benar).
4. 4 adalah bilangan prima           (Salah).
5. 5x12=90                                  (Salah).

Tidak semua kalimat berupa proposisi

Contoh :

1. Dimanakah letak pulau bali?.
2. Pandaikah dia?.
3. Andi lebih tinggi daripada Tina.
4. 3x-2y=5x+4.
5. x+y=2.

1.2.3          PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain  disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol	Arti	Bentuk
¬	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
Ù	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
Ú	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
Þ	Implikasi	Jika…….maka…….
Û	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

Contoh 1.1 :

Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”

              Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”

Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “

Dinyatakan dengan simbol  p Ù q

Contoh 1.2 :

Misalkan  p: hari ini hari minggu

              q: hari ini libur

nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :

a.    Hari ini tidak hari minggu tetapi libur

b.    Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur

c.    Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur

Penyelesaian

a.   Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p Ù q

b.   ¬p Ù¬q

c.    ¬(p Ù q)

NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah Øp yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (Øp) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “Ù”

Contoh 1.3:

p: Fahmi makan nasi

Q:Fahmi minum kopi

Maka pÙq : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Pada konjungsi pÙq akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pÙq bernilai salah.

DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “Ú”.

Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

a.    INKLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh  :

p : 7 adalah bilangan prima

q : 7 adalah bilangan ganjil

p Ú q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

b.    EKSLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

     p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.

     q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.

     p Ú q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.

Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “Þ”.

Notasi pÞq dapat dibaca :

1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 1.4:

1. p : Pak Ali adalah seorang haji.

q : Pak Ali adalah seorang muslim.

p Þ q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang  muslim.

2. p : Hari hujan.

q : Adi membawa payung.

Benar atau salahkah pernyataan berikut?

1. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
2. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
3. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
4. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI

Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p Û q” yang bernilai sama dengan (p Þq) Ù (q Þ p)  sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan  hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.

Contoh 1.5 :

    p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.

    q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

    p Û q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

TABEL KEBENARAN

p	q	Øp	Øq	pÚq	pÙq	pÞq	pÛq	p Å q
T	T	F	F	T	T	F	T	T
T	F	F	T	T	F	T	F	F
F	T	T	F	T	F	T	T	F
F	F	T	T	F	F	F	T	T

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.

1.2.4          INGKARAN (NEGASI) SUATU PENYATAAN

NEGASI SUATU KONJUNGSI

Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Suatu konjumgsi akan bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya yaitu p dan q bernilai benar, sedangkan negasi adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar  dan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah.

          Oleh karena itu negasi dari : “Fahmi makan nasi dan minum kopi” adalah suatu pernyataan majemuk lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari komponen pernyataan awalnya. Jadi negasinya adalah: “Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi”.

Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : Ø(pÙq)  ekuivalen dengan ØpÚØq

NEGASI SUATU DISJUNGSI

Contoh : “Fahmi makan nasi atau minum kopi”

Suatu disjungsi akan bernilai salah hanya jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah., selain itu benar. Oleh karena itu negasi dari kalimat  diatas adalah : “ Tidak benar bahwa Fahmi makan nasi atau minum kopi” atau dapat juga dikatakan “Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi. Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : Ø(pÚq) º ØpÙØq

NEGASI SUATU IMPLIKASI

Contoh 1.6 : “Jika hari hujan maka Adi membawa payung”.

          Untuk memperoleh negasi dari pernyataan diatas, kita dapat mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian dinegasikan, yaitu :

pÞ q º ØpÚq

Maka negasinya

Ø( pÞ q) º Ø(ØpÚq) º pÙØq

NEGASI SUATU BIIMPLIKASI

          Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p) sehingga : Ø(p Û q) º Ø [(p Þ q) Ù (q Þ p)]

                                   º Ø [(ØpÚq ) Ù (ØqÚp)]

                                  º Ø (ØpÚq ) Ú Ø(ØqÚp)

                   Ø(p Û q) º (pÙØq ) Ú (qÙØp)

1.3       TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT

Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.

          Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula campuran (contingent).

Contoh 1.7 :

1.   Tunjukkan bahwa pÚ(Øp) adalah tautologi!

p	Øp	pÚ(Øp)
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	T

2.   Tunjukkan bahwa (pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)] adalah tautologi!

p	q	Øp	Øq	pÚq	Øp Ù Øq	(pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)]
T	T	F	F	T	F	T
T	F	F	T	T	F	T
F	T	T	F	T	F	T
F	F	T	T	F	T	T

3.   Tunjukkan bahwa (pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)] adalah kontradiksi!

p	q	Øp	Øq	pÚq	Øp Ù Øq	(pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]
T	T	F	F	T	F	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	T	F	T	F	F
F	F	T	T	F	T	F

4. Tunjukkan bahwa [(pÙq) Þ r] Þ p        adalah contingent!  

   

p	q	r	pÙq	(pÙq) Þ r	[(pÙq) Þ r] Þ p
T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	T	T
T	F	T	F	F	T
T	F	F	F	F	T
F	T	T	F	T	F
F	T	F	F	T	F
F	F	T	F	T	F
F	F	F	F	T	F

1.4       KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Perhatikan pernytaan di bawah ini! Ø  Ù  Ú  Þ  Û

“Jika suatu bender adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”

Bentuk umum implikasi di atas adalah “p Þ q” dengan

p : Bendera RI

q : Bendera yang ada warna merahnya.

Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :

1.   KONVERS, yaitu q Þ p

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“ Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.

2.   INVERS, yaitu Øp Þ Øq

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya”.

3.   KONTRAPOSISI, yaitu Øq Þ Øp

Sehingga implikasi di atas menjadi :

“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI”.

Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan  invers dan konversnya.

Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut

p	q	Øp	Øq	pÞq	q Þ p	Øp Þ Øq	Øq Þ Øp
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	F	T	F	T	T	F
F	T	T	F	T	F	F	T
F	F	T	T	T	T	T	T

INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Contoh 1.8:

Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.

“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih”

Penyelesaian

Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI

        q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih

maka kalimatnya menjadi p Þ q atau jika menggunakan operator dan maka p Þ q ekuivalen(sebanding/») dengan  Øp Ú q. Sehingga

1.   Negasi dari implikasi

Implikasi           : (pÞq) » Øp Ú q

Negasinya        : Ø(ØpÚq) » pÙØq

Kalimatnya       :“Suatu bendera adalah bendera RI dan bendera       tersebut tidak berwarna merah dan putih”.

2.   Negasi dari konvers

Konvers            : qÞp » ØqÚp

Negasinya        : Ø(ØqÚp) » qÙØp

Kalimatnya       : “Ada/Terdapat bendera berwarna merah dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.

3.   Negasi dari invers

Invers              : Øp Þ Øq » Ø(Øp)ÚØq) » pÙØq

Negasinya        : Ø(pÙØq) » ØpÚq

Kalimatnya       : “Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan putih”.

4.   Negasi dari kontraposisi

Kontraposisi      : Øq Þ Øp » Ø(Øq)ÚØp » qÚØp

Negasinya        : Ø(qÚØp) » ØqÙp

Kalimatnya       : “ Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut adalah bendera RI”.

1.5 EKUIVALENSI LOGIKA

          Pada tautologi, dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian pula jika keduanya kontradiksi. Persoalannya ada pada contingent, karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis. Perhatikan pernyataan berikut :

Contoh 1.9 :

1. Dewi sangat cantik dan peramah.

2. Dewi peramah dan sanagt cantik.

Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditulis sebagai berikut :

A = Dewi sangat cantik.

B = Dewi peramah.

Maka ekspresi logikanya :

1. A Ù B

2. B Ù A

Jika dikatakan kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis maka dapat ditulis A Ù B º B Ù A. Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika tersebut dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai berikut ini :

A	B	AÙB	BÙA
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	F	F
F	F	F	F

Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai T dan F, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap dikatakan ekuivalen. Tetapi jika urutan T dan F tidak sama, maka tidak biasa dikatakan ekuivalen secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalensi secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan berikut ini :

Contoh 1.10 :

1. Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.

2. Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur.

Secara intuitif dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama, tetapi bagaimana jika idbuktikan dengan menggunkan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika. Adapaun langkah-langkahnya :

1. Ubah dahulu argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika.

    Misal : A=Badu pandai

               B=Badu jujur

    Maka kalimatnya menjadi

    1. ØAÚØB

    2. Ø(AÙB)

2. Buat tabel kebenarannya

A	B	ØA	ØB	AÙB	ØAÚØB	Ø(AÙB)
T	T	F	F	T	F	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	T	F	F	T	T
F	F	T	T	F	T	T

Perhatikan ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi logika di atas memiliki nilai kebenaran yang sama, ada nilai T dan F, keduanya baru dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.

3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk menghasilkan tautologi

ØAÚØB	Ø(AÙB)	ØAÚØB Û Ø(AÙB)
F	F	T
T	T	T
T	T	T
T	T	T

Jika hasilnya adalah tautologi (bernilai T semua), maka dikatakan bahwa kedua argumen tersebut ekuivalen secara logis.

1.5.1 HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA

Identitas	pÙ1 º p	pÚ0 º p
Ikatan	pÚ1 º T	pÙ0 º 0
Idempoten	pÚp º p	pÙp º p
Negasi	pÚØp º 1	pÙØp º 0
Negasi Ganda	ØØp º p
Komutatif	pÚq º qÚp	pÙq º qÙp
Asosiatif	(pÚq)Úr º pÚ(qÚr)	(pÙq)Ùr º pÙ(qÙr)
Distributif	pÚ(qÙr) º (pÚq)Ù(pÚr)	pÙ(qÚr) º (pÙq)Ú(pÙr)
De Morgan’s	Ø(pÙq) º Øp Ú Øq	Ø(pÚq) º Øp Ù Øq
Aborbsi	pÙ(pÚq) º p	pÚ(pÙq) º p

Selain dengan menggunkan tabel kebenaran, menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara logis dapat juga menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika. Cara ini lebih singkat

Contoh 1.11 :

1.   Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.

Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º Øp

Penyelesaian

Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º (ØpÙØ(Øq)) Ú (ØpÙØq)

                             º (ØpÙq) Ú (ØpÙØq)

                             º Øp Ù (qÚØq)

                             º Øp Ù T

                             º Øp                 Terbukti

Dalam membuktikan ekuivalensi pºq ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :

1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
2. Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P.
3. P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R

Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika p dan q sama-sama kompleks.

PENYEDERHANAAN LOGIKA

Operasi penyederhanaan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya perhatikan operasi penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.

Lihat juga

• Aplikasi Koin Positif dan Koin Negatif Untuk Pembelajaran Operasi Bilangan Bulat
• CONTOH LEMBAR TES HASIL BELAJAR MATEMATIKA KELAS 7

Contoh 1.12 :

1.   Øp Þ Ø(p Þ Øq)

º Øp Þ Ø(Øp Ú Øq)                       ingat pÞq º ØpÚq

º Ø(Øp) Ú Ø(Øp Ú Øq)                             ingat pÞq º ØpÚq

º p Ú (p Ù q)                                  Hk. Negasi ganda dan De Morgan

º (pÚp) Ù (pÚq)                              Hk. Distributif

º pÙ(pÚq)                                                Hk. Idempoten pÚp º p

º p                                                Hk. Absorbsi

2.   pÚ(pÙq)

º (pÙ1) Ú(pÙq)                              Hk.Identitas

º pÙ(1Úq)                                                Hk.Distributif

º pÙ1                                             Hk.Identitas Ú

º p                                                 Hk.Identitas Ù

3.   (pÞq) Ù (qÞp)

º (ØpÚq) Ù (ØqÚp)                         ingat pÞq º ØpÚq

º (ØpÚq) Ù (pÚØq)                         Hk. Komutatif

º [(ØpÚq)         Ùp] Ú [(ØpÚq)ÙØq]          Hk. Distributif

º [(pÙØp)Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú(qÙØq)]    Hk. Distributif

º [0Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú0]            Hk. Kontradiksi

º (pÙq)Ú(ØpÙØq)                           Hk. Identitas

Operasi penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi logika adalah 1, maka ekspresi logika tersebut adalah tautologi. Jika hasil yang diperoleh adalah 0, berarti ekspresi logika tersebut kontradiksi. Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya adalah contingent.

Contoh 1.13 :

1.   [(pÞq)Ùp]Þq

º [(ØpÚq)Ùp] Þ q                          ingat pÞq º ØpÚq

º Ø[(ØpÚq)Ùp] Ú q                         ingat pÞq º ØpÚq

º [(pÙØq)ÚØp] Ú q                         Hk. Negasi ganda dan De Morgan

º [(pÚØp)Ù(ØqÚØp)] Ú q                 Hk. Distributif

º [1Ù(ØpÚØq)] Ú q                         Hk. Idempoten dan komutatif

º (ØpÚØq)Úq                                  Hk. Identitas

º ØpÚ(ØqÚq)                                  Hk. Assosiatif

º ØpÚ1                                          Hk. Idempoten

º 1                                                          Hk. Identitas

Karena hasil akhirnya 1, maka ekspresi logika diatas adalah tautologi.

2.   (pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]

º (pÚq)Ù(ØpÙØq)                                             

º [(pÚq)ÙØp]Ù[(pÚq)ÙØq]                        Hk. Distributif

º [(pÙØp)Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú(qÙØq)]      Hk. Distributif

º [0Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú0]                        Hk. Negasi

º (ØpÙq)Ù(pÙØq)                                     Hk. Idempoten

º (ØpÙp)Ù(qÙØq)                                     Hk. Assosiatif

º 0Ù0                                                      Hk. Negasi

º 0                                                                   Hk. Idempoten

Hasil akhir 0, maka ekspresi logika diatas adalah kontradiksi.

3.   [(pÚq)ÙØp] Þ Øq

º [(pÙØp)Ú(qÙØp)] Þ Øq                         Hk. Distributif

º [0 Ú (qÙØp)] Þ Øq                               Hk. Negasi

º (qÙØp) Þ Øq                                        Hk. Identitas

º Ø(qÙØp) Ú Øq                                       ingat pÞq º ØpÚq

º (ØqÚp) Ú Øq                                         Hk. De Morgan

º (ØqÚØq)Úp                                           Hk. Assosiatif

º ØqÚp                                                    Hk. Idempoten

Hasilnya bukan 0 atau 1,  ekspresi logika di atas adalah contingent.

                  

1.5       INFERENSI LOGIKA

1.5.1          ARGUMEN VALID DAN INVALID

Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan proposisi P₁,  P₂, .........,P_n yang disebut premis (hipotesa/asumsi) dan menghasilkan proposisi Q yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan).

Secara umum di notasikan dengan

 

          P_1,P_{2, ..........,}P_n ├Q       atau dapat juga ditulis

			Konklusi

 

Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai berikut :

“ Suatu argumen P_1,P_{2,…………,,}P_n ├ Q dikatakan benar (valid) jika Q bernilai benar untuk semua premis yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah (invalid/fallacy)”.

Dengan kata lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan yang disubtitusikan ke dalam premis, jika semua premis benar maka konklusinya juga benar. Sebaliknya jika semua premis benar tetapi konklusinya ada yang salah maka argumen tersebut dikatakan invalid (fallacy).

Jadi suatu argumen dikatakan valid  jika dan hanya jika proposisi P₁ÙP₂Ù........ÙP_n) Þ Q adalah sebuah Tautologi.

Contoh 1.14 :

1.   Premis

P₁ : Jika Office dan Delphi diperlukan maka semua orang akan    belajar   komputer

P₂ : Office dan Delphi diperlukan

Konklusi

     Q : Semua orang akan belajar komputer

Jika ditulis dalam bentuk notasi logika

Misal p : Office dan Delphi diperlukan

        q : Semua orang belajar komputer

Maka argumen diatas dapat ditulis :

pÞq, p ├ q  (valid)

2.   Misal p : Saya suka kalkulus

             q : Saya lulus ujian kalkulus

    Maka argumen p Þ q, p ├ q dapat ditulis

    P₁ : Jika saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus

    P₂ : Saya lulus ujian kalkulus

    \ Saya lulus ujian kalkulus (valid)

Untuk mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1.   Tentukan premis dan konklusi argumen

2.   Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan konklusi.

3.   Carilah baris kritis yatitu baris diman semua premis bernilai benar.

4.   Dalam baris kritis tersebut, jika nilai kesimpulan semuanya benar maka argumen tersebut valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai konklusi salah maka argumen tersebut tidak valid.

Contoh 1.15:

Tentukan apakah argumen berikut ini valid atau invalid

a)   pÚ(qÚr), Ør ├ pÚq

b)   pÞ(qÚØr), qÞ(pÙr) ├pÞr

Penyelesaian

a)

Baris ke	p	q	r	qÚr	pÚ(qÚr) (Premis)	Ør (Premis)	pÚq (konklusi)
1	T	T	T	T	T	F	T
2	T	T	F	T	T	T	T
3	T	F	T	T	T	F	T
4	T	F	F	F	T	T	T
5	F	T	T	T	T	F	T
6	F	T	F	T	T	T	T
7	F	F	T	T	T	F	F
8	F	F	F	F	F	T	F

Dapat dilihat pada tabel diatas bahwa baris 2, 4, dan 6 premisnya bernilai benar semua. Kemudian lihat pada baris konklusi. Ternyata pada baris konklusi semuanya bernilai benar. Maka argumen diatas adalah valid.

b) Silahkan Anda kerjakan!.

1.5.2          ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN

A.   MODUS PONEN

Modus ponen atau penalaran langsung adalh salah satu metode inferensi dimana jika diketahui implikasi ” Bila p maka q ” yang diasumsikan bernilai benar dan antasenden (p) benar. Supaya implikasi pÞq bernilai benar, maka q juga harus bernilai benar.

Modus Ponen : pÞq , p ├ q

atau dapat juga ditulis 

pÞq

p

――――

\ q

Contoh 1.16 :

Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10

Digit terakhir suatu bilangan adalah 0

――――――――――――――――――――――――――――――――――――

\ Bilangan tersebut habis dibagi 10

    

B.   MODUS TOLLENS

Bentuk modus tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi premis pertama modus ponen. Hal ini mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.

Modus Tollens : pÞq, Øq ├ Øp

Atau dapat juga ditulis

pÞq

Øq

――――

\ Øp

Contoh 1.17:

Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10

Suatu bilangan tidak habis dibagi 10

――――――――――――――――――――――――――――――――――――

\ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0

C.   PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION)

Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung ”Ú”. Alasannya adalah karena penghubung ”Ú” bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar.

Misalnya saya mengatakan ”Langit berwarna biru” (bernilai benar). Kalimat tersebut tetap akan bernilai benar jika ditambahkan kalimat lain dengan penghubung ”Ú”. Misalnya ”Langit berwarna biru atau bebek adalah binatang menyusui”. Kalimat tersebut tetap bernilai benar meskipun kalimat ”Bebek adalah binatang menyusui”, merupakan kalimat yang bernilai salah.

Addition : p ├(pÚq) atau q ├ (pÚq)

Atau dapat ditulis

p               atau          q

――――                           ――――

\ pÚq                        \ pÚq

Contoh 1.18 :

Simon adalah siswa SMU

――――――――――――――――――――

\ Simon adalah siswa SMU atau SMP

D.   PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)

Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif. Jika beberapa kalimat dihubungkan  dengan operator ”Ù”, maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus (penyempitan kalimat).

Simplification : (pÙq) ├p atau (pÙq) ├ q

Atau dapat ditulis

pÙq         atau   pÙq

―――                   ―――

\ p                   \ q

Contoh 1.19 :

Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat

―――――――――――――――――――――――――

\ Langit berwarna biru atau \ Bulan berbentuk bulat

E.   SILOGISME DISJUNGTIF

Prinsip dasar Silogisme Disjungtif (Disjunctive syllogism) adalah kenyataan bahwa apabila kita dihadapkan pada satu diantara dua pilihan yang ditawarkan (A atau B). Sedangkan kita tidak memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua pilihan adalah memilih B. Begitu juga sebaliknya.

Silogisme Disjungtif : pÚq, Øp ├q dan pÚq, Øq ├ p

Atau dapat ditulis

pÚq         atau   pÚq

Øp                    Øq

――――               ――――

\ q                  \ p

Contoh 1.20:

Saya pergi ke mars atau ke bulan

Saya tidak pergi ke mars

――――――――――――――――――

\ Saya pergi ke bulan

F.   SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY)

Prinsip silogisme hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika implikasi pÞq dan qÞr keduanya bernilai benar, maka implikasi pÞr bernilai benar pula.

Transitivity : pÞq , qÞr ├ pÞr

Atau dapat ditulis

pÞq

qÞr

―――――

\ pÞr

Contoh 1.21:

Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur

Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor

―――――――――――――――――――――――――――――

\ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.

G.   KONJUNGSI

Jika ada dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat tersebut dengan menggunakan penghubung ”Ù” juga bernilai benar.

Konjungsi

p

q

――

\ pÙq

H.  DILEMA

Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung ”Ú”, masing-masing kalimat dapat mengimplikasikan  sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu maka suatu kesimpulan dapat diambil.

Dilema :

pÚq

pÞr

qÞr

―――

\r